Bab 9: Penerapan Konsep Matematika dalam Penelitian

Pengenalan matematika bukan dimulai dari kehidupan sekolah, namun kehidupan sehari-hari, yang mana adanya kegiatan proses menghitung dalam proses kehidupan misalnya belanja atau menyatakan banyak atau tidaknya barang yang dimiliki. Dalam dunia sekolah, proses matematika yang dilakukan sehari-hari mengalami progress kearah konsep yaitu adanya sekumpulan rumus yang diperoleh dari masalah-masalah kehidupan. Menurut Tymoczko (1986) dan Ernest (1991), matematika diawali dengan aktivitas manusia yang melibatkan pemecahan situasi problematis. Dalam menemukan respon atau solusi terhadap permasalahan eksternal dan internal tersebut, objek matematika semakin muncul dan berkembang. Kemudian permasalahan matematika dan penyelesaiannya dibagikan pada lembaga atau kolektif tertentu yang terlibat dalam mempelajari permasalahan tersebut. Kemudian simbol-simbol digunakan untuk mengungkapkan situasi-masalah dan solusi yang ditemukan sehingga simbol-simbol ini menjadi bersifat komunikatif antara ahli matematik dan masyarakat. Ketika sistem ini diterima maka terbentuk konsep matematika. Jadi konsep matematika adalah pandangan dari pemikiran yang abstrak, digunakan untuk mengelompokkan suatu masalah atau kejadian, misalnya angka satu yang merupakan pandangan abstrak dalam perhitungan.

Seperti penjelasan sebelumnya, konsep matematika erat kaitannya dengan masalah sehari-hari. Ahmad (2021) menyatakan bahwa ada konsep matematika yang umumnya digunakan pada ekonomi adalah variabel, konstanta, koefisien, dan parameter; persamaan dan pertidaksamaan; konsep dan teori himpunan; sistem bilangan real; aturan pangkat, akar, pemfaktoran, serta; pecahan, desimal dan persentase. Matematika dapat digunakan sebagai prediksi suatu fenomena seperti keuntungan atau kerugian, jumlah penduduk bahkan penyebaran penyakit.

Matematika adalah alat yang ampuh untuk pemahaman dan komunikasi global. Nst,dkk (2023) menyatakan matematika dapat digunakan pada algoritma komputer dengan logika matematika, teori peluang, teori graf dapat digunakan pada penyusunan kode bahasa pemograman. Konsep matematika juga digunakan dalam bidang industri terutama saat ini ini ketika industri berkembang. Kartono (2003) menjelaskan bahwa konsep matematika dapat digunakan dalam penyelesaian masalah dan solusi yang disarankan lewat analisa menggunakan matematika. Masalah industri yang sangat kompleks, dimulai dari perencanaan bahan baku yang memperhitungkan hasil produksi, biaya produksi dan keuntungan; bagaimana mesin bekerja dengan seefisien mungkin dan bagaimana memasarkan hasil produksi dengan mempertimbangkan permintaan. Penggunaan konsep matematika ini dapat diaplikasikan pada berbagai bidang karena dikaji terlebih dahulu lewat penelitian yang analisanya tidak lepas dari matematika, menganalisis data, menguji hipotesis, dan menarik kesimpulan yang valid berdasarkan bukti empiris.

Saat ini matematika dimasukkan dalam kurikulum pendidikan STEM, karena dianggap penting dalam mencari solusi dari masalah tantangan global yang ada. Matematika (juga mahasiswa atau siswa) secara sadar atau tidak sadar dianggap mampu digunakan untuk membentuk pemikiran yang sistematis dan kritis. Konsep matematika melalui metode berpikir matematis dapat mengarahkan kita membetuk pola pikir yang mampu memunculkan ide dan menganalisanya lewat teori-teori yang ada. Memecahkan masalah kompleks yang melibatkan banyak variabel dan batasan dan merancang solusi inovatif.

9.1 Konsep Matematika

Berikut ini diberikan konsep matematika yang sering digunakan sebagai dasar penelitian.

9.1.1 Logika Matematika

Logika matematika sering dikaitkan dengan penalaran, yang digunakan untuk pembuktian logis dengan mengevaluasi nilai kebenaran suatu pernyataan. Pada logika matematika terdapat berbagai aturan yang berbeda untuk membedakan hasil logika benar dan salah. Logika matematika dapat digunakan pada penelitian bidang komputer, mulai dari desain sirkuit digital hingga konstruksi program komputer dan verifikasi kebenaran program.

9.1.2 Operator Logika Matematika

1. Konjungsi: menghubungkan dua pernyataan yang disimbolkan dengan “$\wedge$” (DAN), kesimpulan pernyataan bernilai benar jika kedua pernyataan benar dan salah jika salah satu pernyataan salah.
2. Disjungsi: menghubungkan dua pernyataan yang disimbolkan dengan “$\vee$” (ATAU), kesimpulan pernyataan bernilai benar jika kedua pernyataan salah maka kesimpulan bernilai salah dan jika salah satu pernyataan bernilai benar maka kesimpulan bernilai benar.
3. Negasi: operator yang menyatakan kebalikan “$\sim$” dari suatu pernyataan.

9.1.3 Rule Logika matematika

1. Hukum komutatif \(m \wedge n \equiv n \wedge m\) (9.1) \(m \vee n \equiv n \vee m\)

2. Hukum Asosiatif \((m \wedge n) \wedge a \equiv m \wedge (n \wedge a)\) (9.2) \((m \vee n) \vee a \equiv m \vee (n \vee a)\)

3. Hukum Distribusi \(m \wedge (n \vee a) \equiv (m \wedge n) \vee (m \wedge a)\) (9.3) \(m \vee (n \wedge a) \equiv (m \vee n) \wedge (m \vee a)\)

4. De morgan laws \(\neg (m \wedge n) \equiv \neg m \vee \neg n\) (9.4) \(\neg (m \vee n) \equiv \neg m \wedge \neg n\)

9.2 Teori Peluang

Sering didengar kata untung-untungan ketika dihadapkan dengan pilihan. Misalnya ada dua orang teman berjanji jika mendapat kepala ketika melemparkan koin maka akan mentraktir makan, dan ketika dilempar, yang muncul adalah ekor. Namun sebenarnya, hal yang dilakukan ini adalah berhubungan dengan peluang, yaitu adanya peristiwa acak yang tidak dapat ditentukan, namun hasilnya dapat berupa kemungkinan. Prediksi tentang penyakit genetik pada anak yang diturunkan dari orang tuanya dapat menggunakan teori peluang yang dikenal dengan frekuensi relatif. Pada teori peluang perlu dilakukan beberapa kali eksperimen acak untuk mendapatkan kemungkinan hasil. Himpunan semua kemungkinan hasil dari pelemparan koin sebelumnya, maka ruang sampelnya adalah {kepala, ekor}. Probabilitas (peluang) suatu kejadian berada antara 0 dan 1, karena jumlah hasil yang diinginkan tidak akan melebihi jumlah total hasil suatu peristiwa.

\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) (9.5)

Keterangan: P(A): peluang kejadian A n(A): peluang anggota kejadian A n(S): banyaknya titik sampel

9.3 Dasar Statistika

Pada dasarnya pengetahuan mengenai dunia dan isinya termasuk fenomena-fenomena yang terjadi adalah hasil pekerjaan peneliti. Awalnya dimulai dari pemikiran mengenai sekitar yang hanya berdasarkan pengetahuan sederhana saja sehingga muncul asumsi, kemudian semakin tertariknya terhadap hal tersebut, maka diberikan waktu dan dilakukan eksperimen-eksperimen. Namun tidak mungkin dipelajari keseluruhan dari hal yang ingin diketahui lebih dalam, karena itu diperlukan sampel dan diharapkan sampel ini dapat mewakili target. Mengumpulkan data, menganalisa dan mengkomunikasikannya lewat kesimpulan disebut metode statistika. Berikut ini pada umumnya hal-hal yang perlu dipelajari sebagai dasar statistika:

9.3.1 Variabel dan Konstanta

Sesuatu yang belum pasti dalam hal ini kemungkinan berubah maka disebut variabel, sebaliknya yang tidak berubah disebut konstanta. Misalnya banyaknya peminat yang mendaftar ke suatu sekolah, karena bervariasi dapat disebut variabel. Adapun variabel ini dapat dibedakan menjadi variabel kuantitatif yaitu data-data berupa numerik dan variabel kualitatif contohnya warna rambut, jenis kelamin. Pada variabel kuantitatif, terdapat data ordinal, kategorial, interval dan rasio. Ketika data dikategorikan dan tidak berurut disebut data kategorial, contoh jenis kelamin laki-laki dan perempuan. Untuk data yang diurut maka disebut data ordinal. Data ordinal dikelompokkan dengan jarak yang sama disebut data interval sedangkan dikelompokkan dengan perbandingan yang sama disebut data rasio.

9.3.2 Populasi dan Sampel

Kumpulan data dikumpulkan dari rangkaian prosedur yang telah ditentukan. Populasi merupakan kumpulan data yang diambil dari semua anggota kelompok misalnya populasi suatu negara, sedangkan sampel merupakan kelompok tertentu yang dikumpulkan datanya dari suatu populasi, sehingga ukuran sampel lebih kecil dari ukuran populasi. Ada kalanya penelitian membutuhkan data populasi misalnya data ipk lulusan mahasiswa tahun 2022 di suatu kampus, data ini dapat diperoleh dari seluruh alumni yang lulus tahun 2022, namun ketika ingin mengetahui pendapatan suatu provinsi, terlalu sulit mendapatkan informasi dari setiap warga, karena itu dilakukan pengambilan sample untuk mengambil sampel dari warga provinsi tersebut. Pada teknik pengambilan sampel dikenal probalilitas ketika sampel didapat secara acak, dan jika tidak dilakukan acak misalnya berdasarkan kategori disebut non-probability sampling. Pengambilan sampel ini sangatlah efektif, karena penyimpanannya mudah dibandingkan data populasi yang besar, biaya yang dikeluarkan juga lebih sedikit, dan ada kalanya kesulitan mengaskes data populasi. Berikut ini rumus populasi dan sampel, misalkan n banyaknya populasi dan n-1 besarnya sampel (https://byjus.com/maths/population-and-sample/):

\(\text{Population Variance} = (\sigma x)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\) (9.7)

\(\text{Sample Variance} = (Sx)^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\) (9.9)

\(\text{Population Standard Deviation} = \sigma x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\) (9.10)

\(\text{Sample Standard Deviation} = Sx = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\) (9.11)

9.4 Penelitian

Kata “penelitian” berasal dari kata Perancis kuno “recerchier” yang berarti mencari dan mencari lagi. Secara harfiah berarti mengulangi pencarian sesuatu dan secara implisit mengasumsikan bahwa pencarian sebelumnya tidak menyeluruh dan lengkap dalam arti bahwa masih ada ruang untuk perbaikan. Penelitian melibatkan tiga hal dasar:

1. Pengumpulan data: Mengacu pada mengamati, mengukur, dan mencatat informasi.
2. Analisis data: Mengacu pada pengaturan dan pengorganisasian data yang dikumpulkan sehingga kita dapat melakukannya mencari tahu apa signifikansinya dan menggeneralisasikannya.
3. Penulisan laporan: Merupakan bagian yang tidak terpisahkan dan merupakan hasil akhir dari suatu penelitian. Tujuannya adalah untuk menyampaikan informasi yang terkandung di dalamnya kepada pembaca atau khalayak.

Penelitian adalah suatu proses yang melaluinya berusaha untuk mencapai jawaban atas pertanyaan, penyelesaian masalah, atau pemahaman yang lebih baik tentang suatu fenomena secara sistematis dan dengan dukungan data. Proses ini memiliki delapan karakteristik berbeda (Kabir, 2016):

1. Berasal dari suatu pertanyaan atau masalah.
2. Membutuhkan artikulasi tujuan yang jelas.
3. Mengikuti rencana prosedur tertentu.
4. Biasanya membagi masalah pokok menjadi sub-sub masalah yang lebih mudah dikelola.
5. Dipandu oleh masalah penelitian, pertanyaan, atau hipotesis tertentu.
6. Menerima asumsi kritis tertentu.
7. Membutuhkan pengumpulan dan interpretasi data dalam upaya menyelesaikan permasalahan tersebut mengawali penelitian tersebut.
8. Berdasarkan sifatnya, bersifat siklus; atau lebih tepatnya, heliks.

Penelitian adalah penyelidikan ilmiah yang bertujuan untuk mempelajari fakta-fakta baru, menguji ide-ide, dll. Ini adalah pengumpulan sistematis, analisis dan interpretasi data untuk menghasilkan pengetahuan baru dan menjawab pertanyaan tertentu atau memecahkan masalah. Karakteristik penelitian (Degu, 2006):

1. Menuntut pernyataan masalah yang jelas
2. Membutuhkan sebuah rencana (bukan berarti “mencari” sesuatu tanpa tujuan dengan harapan Anda akan menemukan solusi)
3. Hal ini didasarkan pada data yang ada, menggunakan temuan positif dan negatif
4. Data baru harus dikumpulkan sesuai kebutuhan dan diorganisasikan sedemikian rupa sehingga dapat menjawab pertanyaan penelitian

Penelitian adalah pencarian informasi dan pengetahuan baru secara sistematis. Ini mencakup topik-topik di setiap bidang ilmu pengetahuan dan persepsi tentang ruang lingkup dan aktivitasnya tidak terbatas. Pada umumnya pada penelitian, ide yang awal dituangkan dalam bentuk hipotesa, yang akan dicari kebenarannya melalui pengujian variable independent dan dependent. Hipotesis adalah pernyataan tentang hubungan antara dua variabel atau lebih, yang merupakan asumsi sebagai jawaban awal atas pertanyaan yang membantu memandu proses penelitian. Pertimbangkan sebuah penelitian yang dirancang untuk menilai hipotesis bahwa orang yang kecanduan game online akan mempunyai hubungan antara kecanduan game online dan hasil tes ujian mahasiswa. Hipotesisnya mungkin: “Penelitian ini dirancang untuk menilai hipotesis bahwa orang yang kecanduan game online akan mendapatkan hasil ujian yang lebih buruk dibandingkan orang yang tidak kurang tidur.” Adapun metode penelitian yang umumnya digunakan adalah sebagai berikut:

1. Munculnya pertanyaan mengenai suatu fenomena dan mencari latar belakang dari masalah tersebut.
2. Membentuk hipotesis
3. Menyusun metode penelitian
4. Pengumpulan data
5. Menganalisa data
6. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil analisa data dan menghubungkan dengan hipotesa

Ada kesulitan yang dirasakan peneliti dalam menyusun hipotesa, diakibatkan kurangnya pengamatan atau pengetahuan mengenai pertanyaan tersebut, bahkan ada ide pertanyaan tersebut sudah diteliti pihak lain. Perlu dipahami, bagaimana menyusun hipotesa: Kumpulkan sebanyak mungkin pengamatan tentang suatu topik atau masalah. Evaluasi pengamatan ini dan cari kemungkinan penyebab masalahnya. Buatlah daftar kemungkinan penjelasan yang mungkin ingin dijelajahi. Setelah mengembangkan beberapa kemungkinan hipotesis, pikirkan cara agar Anda dapat mengkonfirmasi atau menyangkal setiap hipotesis melalui eksperimen. Hal ini dikenal dengan istilah falsifiabilitas (https://www.verywellmind.com/what-is-a-hypothesis-2795239).

Penelitian kuantitatif berhubungan dengan data-data yang dapat diukur, yaitu topik penelitian atau pertanyaan sudah dirumuskan sebelum penelitian dilakukan. Penelitian kuantitatif biasanya berkaitan dengan membandingkan antar kelompok. Penelitian kualitatif menggunakan data non-numerik, lebih susah diperbedakan maupun independent, dapat berupa deskripsi karakteristik variable dnegan data terukur seperti melihat perbedaan antara kelompok. Penelitian kualitatif berbeda dengan penelitian kuantitatif. Penelitian kualitatif menggunakan data non-numerik, lebih susah mengukurnya, sehingga dilakukan kategori dalam mendeskripsikan data. Karena itu penelitian kualitatif harus terus dikaji dan dirumuskan ulang, terutama dalam menyajikan berbagai perspektif.

Ada beragam tujuan untuk mengembangkan pertanyaan penelitian kualitatif. Pertanyaan-pertanyaan tersebut dapat berfungsi dalam beberapa cara (Barroga & Matanguihan, 2022), seperti untuk:

1. mengidentifikasi dan mendeskripsikan kondisi yang ada (pertanyaan penelitian kontekstual);
2. mendeskripsikan suatu fenomena (pertanyaan penelitian deskriptif);
3. menilai efektivitas metode, rotocol, teori, atau prosedur yang ada (pertanyaan penelitian evaluasi);
4. mengkaji suatu fenomena atau menganalisis alasan atau hubungan antar subjek atau fenomena (pertanyaan penelitian eksplanatif); atau
5. fokus pada aspek-aspek yang belum diketahui dari suatu topik tertentu (pertanyaan penelitian eksploratif).