Pembahasan Lengkap TPA Numerikal: Bilangan Bulat, Pecahan, dan Geometri

Oleh: Tutor TPA

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat siang, teman-teman semua. Apa kabarnya hari ini? Semoga semuanya dalam keadaan sehat ya, meskipun di cuaca yang sedang tidak mendukung ini.

Hari ini kita bertemu lagi untuk membahas lanjutan Tes Potensi Akademik (TPA), masih di subtes numerikal. Kita akan membahas tentang bilangan bulat dan pecahan. Tadi teman-teman sudah mengerjakan soal pre-test dan hasilnya sudah keluar. Nanti di post-test insyaallah akan ada tujuh soal.

Tadi saya memberikan waktu mengerjakan sekitar 20 menit, mungkin sekitar 2 menit per satu soal. Kita lihat dengan waktu yang memadai itu hasilnya sudah sangat memuaskan banget. Sudah ada yang benar semua, ada yang benar tujuh, dan kebanyakan benar lebih dari setengah. Kita lihat soal nomor satu itu teman-teman sudah benar semua, karena soal nomor satu ini insyaallah masih familier dan rumus yang digunakan juga sederhana. Nomor dua ada sedikit logika, dan teman-teman juga masih banyak yang benar.

Kita lihat yang agak kesulitan itu kira-kira di nomor 8 dan nomor 7. Di sini terlihat rata-rata waktu yang dibutuhkan. Jadi, teman-teman bisa tahu peserta lain mengerjakan soal itu dalam waktu berapa detik atau berapa menit. Kebanyakan sekitar 1 sampai 2 menit. Ada soal seperti nomor dua yang butuh lebih dari 2 menit.

Tapi ingat, ketika teman-teman mengerjakan satu soal, itu banyak investasi waktunya. Maka, harus di soal-soal tertentu teman-teman pakai waktu yang sesingkat mungkin supaya bisa menutupi waktu yang sudah dipakai di soal yang lebih susah. Karena memang mau tidak mau akan ada soal yang butuh logika lebih panjang.

Di soal bilangan bulat dan pecahan ini, kurang lebih kita akan membahas tentang rumus. Cuma kalau membicarakan rumus, itu ada banyak banget di sini. Jadi, menurut saya akan lebih efisien kalau kita langsung bahas soalnya, sambil kita mengingat kembali rumus-rumus terkait materi itu. Tapi kalau teman-teman mau menghafal rumus, bisa lihat nanti di website kita, itu sudah ada ringkasannya.

Kalau ditanya harus tidak kita hafal rumus? Jawabannya harus. Tidak bisa ditawar-tawar. Jadi, mau tidak mau teman-teman harus mulai mengingat-ingat kembali rumus-rumus terkait bilangan bulat dan pecahan. Kalau memang tidak bisa hafal rumusnya, yang penting teman-teman pahami dulu saja konsepnya. Nanti kalau dipahami, jadi kalau lupa rumus bisa dibuat sendiri logikanya pas mengerjakan soal.

Mari kita langsung bahas soal Quizizz-nya sambil kita pelajari lebih jauh tentang rumus-rumus bangun datar dan bangun ruang.

Pembahasan Soal Pre-Test (Quizizz)

Soal 1: Perbandingan Luas Belah Ketupat dan Segitiga

Soal: Jika P adalah luas belah ketupat yang mempunyai diagonal berturut-turut 24 dan 32, serta Q adalah luas segitiga yang memiliki panjang sisi 16, 20, dan 12.

Teman-teman tahu rumus luas belah ketupat? Rumusnya adalah: \(Luas = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\) Di soal langsung diketahui diagonalnya 24 dan 32. Jadi tinggal dihitung: \(P = \frac{1}{2} \times 24 \times 32\) Kita simpan dulu hitungannya.

Sekarang Q adalah luas segitiga dengan panjang sisi 16, 20, dan 12. Kita tahu luas segitiga rumusnya: \(Luas = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi\) Di sini dikasih tiga angka: 16, 20, dan 12. Kita butuh dua angka saja, alas dan tinggi. Sisi miring adalah sisi paling panjang. Jadi kalau ada 16, 20, dan 12, teman-teman bisa eliminasi angka yang paling besar, yaitu 20. Itu pasti sisi miringnya, bukan tinggi dan bukan alas. Jadi kita pakai angka sisanya: \(Q = \frac{1}{2} \times 12 \times 16\) Hasilnya, 16 dibagi 2 adalah 8, dikali 12. Coba perhatikan, P tadi $\frac{1}{2} \times 24 \times 32$ (atau $12 \times 32$), sedangkan Q adalah $12 \times 8$. Jelas terlihat bahwa P lebih besar daripada Q. Saya lebih suka menghitung terakhir, siapa tahu tidak perlu dihitung detail karena yang ditanya hanya mana yang lebih besar.

Soal 2: Kerangka Persegi vs Persegi Panjang

Soal: Sebatang kawat cukup untuk membuat tiga kerangka persegi dengan panjang sisi 45 cm. Jika kawat yang sama akan dibuat persegi panjang berukuran $18 \times 15$, maka banyaknya kerangka persegi panjang yang dapat dibuat adalah?

Kita sedang membahas persegi panjang dan persegi. Persegi panjang punya dua pasang sisi yang sama panjang (panjang dan lebar). Sedangkan persegi, semua sisinya sama panjang.

Pertama, kita cari panjang kawat total. Kita lihat keliling perseginya. Keliling persegi adalah $4 \times sisi$. \(Keliling = 4 \times 45\) Karena ada tiga kerangka persegi, maka total panjang kawat adalah: \(Total Kawat = 3 \times (4 \times 45)\)

Kawat ini mau dibuat persegi panjang dengan ukuran $18 \times 15$. Kita cari keliling satu persegi panjang: \(Keliling PP = 2 \times (panjang + lebar)\) \(Keliling PP = 2 \times (18 + 15) = 2 \times 33\)

Untuk tahu berapa banyak persegi panjang yang bisa dibuat, kita bagi total kawat dengan keliling persegi panjang: \(\text{Banyaknya} = \frac{3 \times 4 \times 45}{2 \times 33}\) Kita sederhanakan:

• 4 dibagi 2 sisa 2.
• 33 dibagi 3 sisa 11.
• Tersisa: $(2 \times 45) / 11 = 90 / 11$.

90 dibagi 11 itu hasilnya 8 koma sekian. Karena yang ditanya kerangka utuh, maka jawabannya adalah 8. Jangan dibulatkan ke 9 karena kawatnya tidak cukup.

Soal 3: Persentase Kenaikan Luas Bujur Sangkar

Soal: Jika sisi bujur sangkar (persegi) ditambah dengan 20%, maka luas bujur sangkar tersebut meningkat sebesar?

Kita tahu luas persegi adalah $S^2$. Kita bandingkan luas awal ($L_1$) dan luas akhir ($L_2$). Misalkan sisi awal ($S_1$) adalah $S$ (atau 100% S). Sisi setelah ditambah ($S_2$) adalah $100\% S + 20\% S = 120\% S$. Jika disederhanakan, $120\% = 120/100 = 6/5$. Jadi $S_2 = \frac{6}{5} S$.

Luas awal ($L_1$) = $S^2$. Luas akhir ($L_2$) = $(\frac{6}{5} S)^2 = \frac{36}{25} S^2$.

Perbandingan $L_1 : L_2$ adalah $1 : \frac{36}{25}$, atau $25 : 36$. Peningkatannya adalah selisihnya dibagi nilai awal: \(\text{Peningkatan} = \frac{36 - 25}{25} \times 100\%\) \(\text{Peningkatan} = \frac{11}{25} \times 100\% = 11 \times 4 = 44\%\)

Cara lain, misalkan sisi awal 100% atau 1. Sisi baru jadi 1,2. Luas baru = $(1,2)^2 = 1,44$. Peningkatannya dari 1 ke 1,44 adalah 0,44 atau 44%. Hati-hati jika soalnya tidak mulai dari 100%, tapi cara logika perbandingan selalu aman.

Soal 4: Luas Segitiga Sama Kaki

Soal: Alas sebuah segitiga sama kaki adalah 16 cm dan masing-masing kakinya 10 cm. Berapakah luasnya?

Segitiga sama kaki berarti panjang kakinya sama (kiri dan kanan 10, alas 16). Kita butuh tinggi untuk menghitung luas ($\frac{1}{2} \times alas \times tinggi$). Kita bagi dua segitiganya tepat di tengah. Alasnya 16 menjadi 8. Sisi miringnya 10. Kita cari tingginya pakai Pythagoras. Ini adalah triple Pythagoras. Kalau sisi miring 10, sisi alas 8, pasti tingginya 6. (Ingat pola 3-4-5 yang dikali dua jadi 6-8-10).

Secara rumus: \(Tinggi = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\)

Sekarang masukkan ke rumus luas: \(Luas = \frac{1}{2} \times 16 \times 6\) \(Luas = 8 \times 6 = 48\)

Soal 5: Volume Silinder (Tabung)

Soal: Sebuah silinder memiliki radius 2 m dan tinggi 5 m. Jika silinder tersebut telah terisi air 40%, berapa meter kubik lagikah harus diisi agar penuh?

Karena sudah terisi 40%, berarti kita butuh mengisi sisanya, yaitu 60%. Volume yang dibutuhkan = $60\% \times \text{Volume Tabung}$. Rumus volume tabung = Luas Alas $\times$ Tinggi = $\pi r^2 \times t$.

Perhatikan pilihan jawaban, nilai $\pi$ (Pi) tidak dihitung, jadi biarkan dalam bentuk $\pi$. \(\text{Volume Air} = 60\% \times \pi \times (2^2) \times 5\) \(\text{Volume Air} = \frac{60}{100} \times \pi \times 4 \times 5\) \(\text{Volume Air} = 0,6 \times 20 \pi = 12 \pi\)

Soal 6: Luas Permukaan Kubus untuk Akuarium

Soal: Hasyim ingin membuat akuarium berbentuk kubus dari kaca bekas yang luas permukaannya 486 cm². Berapakah rusuk akuarium?

Akuarium default-nya ada tutupnya, kecuali disebutkan “tanpa tutup”. Kubus memiliki 6 sisi berbentuk persegi. Luas permukaan kubus = $6 \times S^2$. \(486 = 6 \times S^2\) \(S^2 = \frac{486}{6} = 81\) \(S = \sqrt{81} = 9\) Jadi rusuknya 9 cm.

Soal 7: Keliling Layang-Layang dan Manik-Manik

Soal: Layang-layang dengan sisi pendek 36 cm dan sisi panjang 42 cm. Ditempeli manik-manik berjarak 3 cm di sekelilingnya.

Sisi pendek (atas kiri-kanan) sama panjang = 36. Sisi panjang (bawah kiri-kanan) sama panjang = 42. Keliling = $2 \times (36 + 42) = 2 \times 78 = 156$ cm.

Banyak manik-manik = Keliling dibagi jarak. \(\text{Jumlah} = \frac{156}{3} = 52\)

Catatan Penting (Konsep Pagar/Manik-Manik): Jika kita memasang pagar/manik-manik mengelilingi bangun tertutup (titik akhir bertemu titik awal), jumlahnya cukup Keliling dibagi Jarak. Namun, jika jalurnya lurus (titik akhir tidak ketemu awal), maka rumusnya (Panjang dibagi Jarak) + 1. Karena layang-layang adalah bangun tertutup, kita tidak perlu menambah 1. Jawabannya 52.

Soal 8: Kesebangunan pada Kerucut

Soal: Kerucut terbalik dengan tinggi 4 cm. Berisi air seperdelapan bagian dari isi penuh. Kedalaman air adalah?

Ini menggunakan konsep kesebangunan segitiga. Bayangkan penampang kerucut sebagai segitiga terbalik. Ada jari-jari besar ($R$), tinggi besar ($T$), jari-jari kecil air ($r$), dan tinggi air ($t$). Berlaku perbandingan: $\frac{r}{t} = \frac{R}{T}$.

Diketahui: Volume air = $\frac{1}{8}$ Volume Kerucut. Rumus Volume Kerucut = $\frac{1}{3} \pi r^2 t$. \(V_{kecil} = \frac{1}{8} V_{besar}\) \(\frac{1}{3} \pi r^2 t = \frac{1}{8} (\frac{1}{3} \pi R^2 T)\)

Coret $\frac{1}{3} \pi$ di kedua sisi. Tersisa: $r^2 t = \frac{1}{8} R^2 T$. Diketahui tinggi besar ($T$) = 4. Kita mau cari $t$ (kedalaman air). Kita tidak tahu nilai $R$ dan $r$, tapi kita bisa pakai perbandingan kesebangunan. Dari $\frac{r}{t} = \frac{R}{T}$, maka $R = \frac{r \times T}{t} = \frac{r \times 4}{t}$.

Substitusi $R$ ke persamaan volume: \(r^2 t = \frac{1}{8} (\frac{4r}{t})^2 \times 4\) \(r^2 t = \frac{1}{8} (\frac{16 r^2}{t^2}) \times 4\) \(r^2 t = \frac{1}{2} \times \frac{16 r^2}{t^2} = \frac{8 r^2}{t^2}\) Coret $r^2$ di kedua sisi. \(t = \frac{8}{t^2} \rightarrow t^3 = 8\) \(t = \sqrt[3]{8} = 2\) Jadi, kedalaman airnya adalah 2 cm.

Pembahasan Post-Test

Sekarang kita masuk ke pembahasan soal Post-Test. Soal post-test biasanya sedikit lebih menantang.

Post-Test 1: Perbandingan Dua Lingkaran

Soal: Dua lingkaran masing-masing berdiameter 20 dan 40. Perbandingan luas kedua lingkaran adalah?

Diameter ($D$) = $2 \times$ Jari-jari ($r$). Rumus luas pakai diameter: $L = \frac{1}{4} \pi D^2$. Atau ubah ke jari-jari: $r_1 = 10$, $r_2 = 20$. Rumus luas pakai jari-jari: $L = \pi r^2$.

Kita bandingkan $L_1 : L_2$. \(L_1 : L_2 = \pi (10^2) : \pi (20^2)\) Coret $\pi$. \(100 : 400 = 1 : 4\)

Post-Test 2: Gabungan Kubus dan Limas

Soal: Limas segiempat ditempel di atas kubus. Rusuk kubus 9 m. Volume gabungan 945. Berapa tinggi limas?

Alas limas sama dengan tutup kubus (persegi dengan sisi 9). Volume Gabungan = Volume Kubus + Volume Limas. \(945 = S^3 + (\frac{1}{3} \times Luas Alas \times t_{limas})\) \(945 = 9^3 + (\frac{1}{3} \times 9^2 \times t)\) \(945 = 729 + (\frac{1}{3} \times 81 \times t)\) \(945 - 729 = 27t\) \(216 = 27t\) \(t = \frac{216}{27} = 8\) Jadi tinggi limas adalah 8 m.

Post-Test 3: Jarak Titik ke Garis pada Kubus

Soal: Kubus ABCD.EFGH rusuk 8. Jarak titik H ke garis AC adalah?

Ini menarik. Kita perhatikan segitiga ACH.

• AC adalah diagonal sisi (bawah). Rumus diagonal sisi = $S\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
• AH adalah diagonal sisi (kiri). Panjangnya sama, $8\sqrt{2}$.
• CH adalah diagonal sisi (belakang). Panjangnya sama, $8\sqrt{2}$. Ternyata ACH adalah segitiga sama sisi dengan sisi $a = 8\sqrt{2}$.

Jarak H ke AC adalah tinggi dari segitiga sama sisi ini. Rumus cepat tinggi segitiga sama sisi = $\frac{1}{2} \times sisi \times \sqrt{3}$. \(Tinggi = \frac{1}{2} \times (8\sqrt{2}) \times \sqrt{3}\) \(Tinggi = 4\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{6}\)

Kalau mau cara manual pakai Pythagoras, ambil setengah alas segitiga, lalu hitung sisi tegaknya. Hasilnya akan sama.

Post-Test 4: Jalan Setapak Mengelilingi Kolam

Soal: Kolam renang persegi panjang $40 \times 20$. Dikelilingi jalan setapak selebar 1 m. Luas jalan setapak adalah?

Bayangkan persegi panjang kecil di dalam persegi panjang besar. Panjang awal 40. Ditambah jalan kiri 1 m dan kanan 1 m, jadi panjang total = $40 + 1 + 1 = 42$. Lebar awal 20. Ditambah jalan atas 1 m dan bawah 1 m, jadi lebar total = $20 + 1 + 1 = 22$.

Luas jalan = Luas Besar - Luas Kecil. \(Luas = (42 \times 22) - (40 \times 20)\) \(Luas = 924 - 800 = 124\)

Diskusi Tambahan: Tadi ada yang bertanya, bagaimana kalau kolamnya segitiga? Kalau segitiga dikelilingi jalan setapak, bentuk luarnya tidak sesederhana itu. Sudut-sudutnya akan membentuk jajar genjang atau bentuk lain, tidak sekadar tambah 1 cm kiri kanan. Perlu perhitungan lebih kompleks.

Post-Test 5: Trapesium dan Persegi Panjang

Soal: Persegi panjang $10 \times 5$. Luas trapesium sama dengan luas persegi panjang ini. Jumlah sisi sejajar trapesium sama dengan panjang persegi panjang. Berapa tinggi trapesium?

Luas Persegi Panjang = $10 \times 5 = 50$. Maka, Luas Trapesium = 50. Diketahui jumlah sisi sejajar trapesium ($a + b$) = Panjang PP = 10.

Rumus Luas Trapesium: \(Luas = \frac{a+b}{2} \times t\) \(50 = \frac{10}{2} \times t\) \(50 = 5t\) \(t = 10\)

Post-Test 6: Luas Layang-Layang (Analisis Sudut)

Soal: Layang-layang dengan $AB=1$ dan $AD=\sqrt{5}$. Ada clue sudut siku-siku di B (dan D). Berapa luasnya?

Layang-layang punya dua pasang sisi sama panjang. $AB=BC=1$ dan $AD=CD=\sqrt{5}$. Karena siku-siku di B, kalau kita tarik garis AC, segitiga ABC menjadi segitiga siku-siku sama kaki. Diagonal AC bisa dicari. Bayangkan ABC dilengkapi menjadi sebuah persegi. Maka AC adalah diagonal persegi. \(AC = S\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}\) Titik potong diagonal kita sebut O. $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Sekarang cari panjang diagonal lain (BD). Kita cari OD pakai Pythagoras di segitiga AOD (siku-siku di O). \(OD^2 = AD^2 - AO^2\) \(OD^2 = (\sqrt{5})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2\) \(OD^2 = 5 - \frac{2}{4} = 5 - 0,5 = 4,5 = \frac{9}{2}\) \(OD = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{2}\)

Panjang OB sama dengan AO (karena ABC bagian dari persegi bayangan tadi), jadi $OB = \frac{1}{2}\sqrt{2}$. Total diagonal BD = $OD + OB = \frac{3}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{4}{2}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Luas Layang-Layang: \(L = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\) \(L = \frac{1}{2} \times AC \times BD\) \(L = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2}\) \(L = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)

Post-Test 7: Volume Air dalam Kerucut (Bukan Terbalik)

Soal: Wadah kerucut diisi air sampai setengah tingginya. Jari-jari alas 7, tinggi 30. Berapa volume air?

Ini kerucut normal (alas di bawah). Air mengisi bagian bawah setinggi setengahnya. Berarti air berbentuk kerucut terpancung (frustum). Volume air = Volume Kerucut Besar - Volume Kerucut Kecil (bagian kosong di atas).

Kerucut Besar: $R=7, T=30$. Kerucut Kecil (kosong): Tinggi $t=15$ (setengah dari 30). Kita cari jari-jari kecil ($r$). Pakai kesebangunan: \(\frac{r}{15} = \frac{7}{30}\) \(r = \frac{7 \times 15}{30} = 3,5 \text{ atau } \frac{7}{2}\)

Hitung Volumenya: \(V_{air} = (\frac{1}{3} \pi R^2 T) - (\frac{1}{3} \pi r^2 t)\) \(V_{air} = \frac{1}{3} \pi [ (7^2 \times 30) - ((\frac{7}{2})^2 \times 15) ]\) \(V_{air} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times [ (49 \times 30) - (\frac{49}{4} \times 15) ]\) Setelah dihitung (silakan teman-teman corat-coret angkanya), hasil akhirnya sekitar 1347,5.

Demikian pembahasan soal-soal Pre-test dan Post-test hari ini. Jika teman-teman merasa masih ada materi yang “nyangkut”, silakan diasah lagi materi bangun datar dan bangun ruangnya. Kerjakan ulang soal-soal di website agar belajarnya lebih terarah.

Terima kasih banyak yang sudah bergabung. Jangan lupa jaga kesehatan. Selamat istirahat!

Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.