Pembahasan Lengkap TPA Numerikal: Bilangan Bulat, Pecahan, dan Bentuk Akar

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat malam semuanya.

Kita bertemu lagi malam ini untuk melanjutkan pembahasan Tes Potensi Akademik (TPA). Untuk sesi kali ini, kita akan masuk ke pembahasan numerikal, atau kalau di website materinya ada di bagian bilangan bulat dan pecahan. Jadi, fokus kita malam ini adalah Bab 5: Bilangan Bulat dan Pecahan.

Di sini kita akan kembali mengingat tentang jenis bilangan, sifat operasi pada bilangan riil, akar, cara menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar, dan lain sebagainya. Tadi teman-teman sudah mengerjakan 15 soal pretest. Nanti, Insyaallah setelah materi, kita akan ada 10 soal post-test. Semoga dengan mengerjakan pretest tadi, teman-teman jadi menyadari kira-kira masih kurang di bagian mana dan materi apa yang butuh ditingkatkan.

Sekilas melihat hasil Quizizz teman-teman tadi, sudah ada yang benar 13, 9, dan lain sebagainya, itu sudah cukup baik. Kita akan bedah kesulitannya di mana, mulai dari perkalian bilangan berpangkat, akar tak hingga, hingga penjumlahan akar di dalam akar.

Materi Dasar: Sifat Operasi Bilangan Riil

Sebelum kita bahas soal Quizizz, mari kita masuk ke materinya sedikit. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan, terutama sifat asosiatif atau pengelompokan.

Misalnya ada 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 x+y+z . Kalau sama-sama penjumlahan, teman-teman mau menambahkan 𝑥 + 𝑦 x+y dulu atau 𝑦 + 𝑧 y+z dulu, hasilnya sama saja. Jadi, kalau ada penjumlahan, boleh diacak-acak pengerjaannya, cari mana yang lebih gampang. Contohnya: 2 + 3 + 4 + 8 2+3+4+8 . Mungkin lebih enak menjumlahkan 2 + 8 2+8 dulu jadi 10, lalu 3 + 4 3+4 jadi 7. Hasilnya 17. Jadi tidak harus berurutan. Hal yang sama berlaku untuk perkalian ( 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥 x⋅y=y⋅x ). Ini hal sederhana, tapi nanti sifat asosiatif ini akan muncul saat kita mengerjakan soal.

Mengingat Kembali Sifat Bilangan Berpangkat

Seringkali kita lupa sifat-sifat ini karena sudah lama tidak dibiasakan. Mari kita ingat kembali:

Perkalian Pangkat: Jika angka basisnya sama tapi pangkatnya beda, pangkatnya dijumlahkan.

Contoh: 2 4 × 2 6 2 4 ×2 6 . Angka 2-nya tetap, pangkatnya dijumlah ( 4 + 6 = 10 4+6=10 ), jadi 2 10 2 10 .

Pembagian Pangkat: Jika dibagi, pangkatnya dikurang.

Contoh: 2 4 : 2 2 2 4 :2 2 . Angka 2-nya tetap, pangkatnya dikurang ( 4 − 2 = 2 4−2=2 ), jadi 2 2 2 2 .

Pangkat Dipangkatkan: Pangkatnya dikalikan.

Contoh: ( 2 4 ) 2 (2 4 ) 2 . Pangkatnya dikali ( 4 × 2 = 8 4×2=8 ), jadi 2 8 2 8 .

Perkalian dalam Pangkat: ( 2 𝑥 ) 2 (2x) 2 artinya 2 2 × 𝑥 2 2 2 ×x 2 .

Tiga Rumus Aljabar Wajib Hafal

Ada tiga sifat pengoperasian bilangan yang harus dipahami, dihafalkan, dan dipakai karena sering muncul di soal SPMB:

( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 + 𝑏 ) = 𝑎 2 + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 (a+b)(a+b)=a 2 +2ab+b 2

( 𝑎 − 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎 2 − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 (a−b)(a−b)=a 2 −2ab+b 2

( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎 2 − 𝑏 2 (a+b)(a−b)=a 2 −b 2

Jadi, next time kalau ketemu perkalian seperti ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) (a+b)(a−b) , jangan dikalikan satu-satu lagi. Langsung ingat hasilnya adalah 𝑎 2 − 𝑏 2 a 2 −b 2 .

Operasi Bentuk Akar

Untuk pengoperasian akar, sifat pertamanya adalah:

𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 a×b ​

= a ​

× b ​

Contoh: 25 × 4 25 ​

× 4 ​

. Bisa dikerjakan satu-satu ( 5 × 2 = 10 5×2=10 ) atau dikalikan dalamnya ( 100 = 10 100 ​

=10 ).

Pembagian juga sama: 𝑎 / 𝑏 = 𝑎 / 𝑏 a/b ​

= a ​

/ b ​

.

Perkalian campuran: 𝑎 𝑏 × 𝑐 𝑑 = ( 𝑎 × 𝑐 ) 𝑏 × 𝑑 a b ​

×c d ​

=(a×c) b×d ​

. Yang di luar akar dikali dengan yang di luar, yang di dalam akar dikali dengan yang di dalam.

Hati-hati pada Penjumlahan Akar!

2 + 3 2 ​

+ 3 ​

tidak sama dengan 5 5 ​

. Kita membacanya sama seperti memahami variabel. Misal 2 2 ​

itu 𝑥 x dan 3 3 ​

itu 𝑦 y . Maka 𝑥 + 𝑦 x+y selamanya akan jadi 𝑥 + 𝑦 x+y , tidak bisa jadi 𝑥 𝑦 xy .

Bayangkan ada satu kerupuk dan satu sambal. Selamanya itu akan jadi satu kerupuk dan satu sambal. Kita tidak bisa bilang “dua kerupuk sambal”. Jadi, 2 + 3 2 ​

+ 3 ​

tetap 2 + 3 2 ​

+ 3 ​

. Kecuali akarnya sama, misal 2 2 + 2 2 2 ​

+ 2 ​

. Ini ibarat dua kerupuk ditambah satu kerupuk, hasilnya tiga kerupuk ( 3 2 3 2 ​

).

Rumus Akar di dalam Akar

Jika teman-teman bertemu penjumlahan akar di dalam akar, ubah ke bentuk ini:

( 𝑎 + 𝑏 ) + 2 𝑎 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 (a+b)+2 ab ​

​

= a ​

+ b ​

( 𝑎 + 𝑏 ) − 2 𝑎 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 (a+b)−2 ab ​

​

= a ​

− b ​

Syaratnya, angka di depan akar dalam harus 2. Jika tandanya plus, hasilnya 𝑎 + 𝑏 a ​

+ b ​

. Jika tandanya minus, hasilnya 𝑎 − 𝑏 a ​

− b ​

. Nilai 𝑎 a harus lebih besar dari 𝑏 b .

Asal mulanya dari mana? Dari rumus kuadrat sempurna ( 𝑥 + 𝑦 ) 2 = 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑥 𝑦 ( x ​

+ y ​

) 2 =x+y+2 xy ​

. Jadi kalau diakarkan kedua sisi, kita kembali ke bentuk rumus di atas.

Merasionalkan Penyebut

Dalam aturan matematika, penyebut pecahan tidak boleh ada bentuk akar. Jika ketemu soal dengan penyebut akar, itu petunjuk untuk merasionalkannya.

Caranya adalah dengan mengalikan dengan sekawannya.

Jika penyebutnya 𝑏 b ​

, kalikan dengan 𝑏 𝑏 b ​

b ​

​

(karena nilainya 1, jadi tidak mengubah nilai).

Jika penyebutnya ada tanda plus/minus (misal 𝑎 + 𝑏 a ​

+ b ​

), kalikan dengan penyebut yang sama tapi tandanya berubah (menjadi 𝑎 − 𝑏 a ​

− b ​

).

Pecahan Istimewa dan Trik Desimal

Dalam soal TPA, hindari menghitung desimal manual karena memakan waktu. Ubah desimal ke pecahan. Contoh: 0 , 333 × 12 0,333×12 . Kelihatannya susah. Tapi kalau kita tahu 0 , 333 = 1 / 3 0,333=1/3 , maka tinggal 1 / 3 × 12 = 4 1/3×12=4 . Jauh lebih mudah.

Biasakan menghapal pecahan istimewa dari 1 / 2 1/2 sampai 1 / 9 1/9 . Misalnya kita tahu 1 / 5 = 0 , 2 1/5=0,2 . Kalau ketemu 0 , 4 0,4 , itu kan 2 × 0 , 2 2×0,2 , berarti 2 / 5 2/5 .

Ciri Bilangan Habis Dibagi

Ini cara cepat untuk menentukan apakah angka besar habis dibagi angka tertentu:

Dibagi 2: Angka genap.

Dibagi 3: Jumlahkan semua digitnya. Jika jumlahnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 3. (Contoh: 123 → 1 + 2 + 3 = 6 →1+2+3=6 . 6 habis dibagi 3, maka 123 habis dibagi 3).

Dibagi 4: Lihat dua digit terakhir. (Contoh: 1032 → → lihat 32. Karena 32 habis dibagi 4, maka 1032 habis dibagi 4).

Dibagi 8: Lihat tiga digit terakhir. (Contoh: 1040 → → lihat 040 alias 40. 40 habis dibagi 8, maka 1040 habis dibagi 8).

Dibagi 9: Jumlahkan semua digitnya. Jika jumlahnya habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 9. (Ingat: untuk 3 dan 9 dilihat jumlah digit, untuk 4 dan 8 dilihat digit terakhir).

Pembahasan Soal Pretest (Quizizz)

Mari kita bedah soal-soal pretest tadi.

Soal 1: Eksponen dan Substitusi Diketahui 𝑎 2 𝑏 4 = 64 a 2 b 4 =64 dan 𝑎 𝑏 = 4 ab=4 . Ditanya nilai 2 𝑎 − 8 2a−8 . Kita tahu ( 𝑎 𝑏 ) 2 = 𝑎 2 𝑏 2 (ab) 2 =a 2 b 2 . Bentuk 𝑎 2 𝑏 4 a 2 b 4 bisa dipecah menjadi ( 𝑎 𝑏 2 ) × 𝑏 2 (ab 2 )×b 2 . Tapi lebih mudah begini: 𝑎 2 𝑏 4 = ( 𝑎 𝑏 ) 2 × 𝑏 2 a 2 b 4 =(ab) 2 ×b 2 . Diketahui 𝑎 𝑏 = 4 ab=4 , jadi ( 4 ) 2 × 𝑏 2 = 64 → 16 𝑏 2 = 64 → 𝑏 2 = 4 → 𝑏 = 2 (4) 2 ×b 2 =64→16b 2 =64→b 2 =4→b=2 . Jika 𝑏 = 2 b=2 , dan 𝑎 𝑏 = 4 ab=4 , maka 𝑎 = 2 a=2 . Hasilnya 2 𝑎 − 8 = 2 ( 2 ) − 8 = − 4 2a−8=2(2)−8=−4 .

Soal 2: Akar Tak Hingga

6 + 6 + … = 𝑎 6+ 6+… ​

​

=a . Cara cepatnya:

Jika 𝑥 + 𝑥 + … x+ x+… ​

​

, cari dua angka berurutan yang jika dikalikan hasilnya 𝑥 x . Ambil angka yang besar.

Jika tandanya minus ( 𝑥 − 𝑥 − … x− x−… ​

​

), ambil angka yang kecil. Untuk 6… 6… ​

, 6 itu perkalian 3 × 2 3×2 . Karena tandanya plus, hasilnya adalah 3. Untuk 20 − 20… 20− 20… ​

​

, 20 itu 5 × 4 5×4 . Karena tandanya minus, hasilnya 4. Jadi 𝑎 = 3 , 𝑏 = 4 a=3,b=4 . (Di soal sepertinya 20 + … 20+… ​

jadi hasilnya 5). Intinya, cari faktor berurutan.

Soal 3: Selisih Kuadrat

17 2 − 13 2 17 2 −13 2 . Ingat rumus 𝑎 2 − 𝑏 2 = ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) .

( 17 + 13 ) ( 17 − 13 ) = 30 × 4 = 120 (17+13)(17−13)=30×4=120 . Kemudian dibagi dengan penyebutnya. Hati-hati dengan desimal, ubah 16 , 67 % 16,67% jadi 1 / 6 1/6 dan 0 , 67 0,67 jadi 2 / 3 2/3 .

Soal 4: Akar dalam Akar (Ada angka 2)

3 + 2 2 3+2 2 ​

​

. Sudah ada angka 2 di depan akar kecil. Cari dua angka yang dijumlahkan hasilnya 3, dikalikan hasilnya 2. Angkanya adalah 2 dan 1. Maka hasilnya 2 + 1 = 2 + 1 2 ​

+ 1 ​

= 2 ​

+1 . Dikurangi dengan 2 2 ​

(dari soal), maka sisa 1. 1 = 1 1 ​

=1 .

Soal 5: Akar dalam Akar (Tanpa angka 2)

2 + 3 2+ 3 ​

​

. Di sini tidak ada angka 2 di depan 3 3 ​

. Kita harus memunculkannya tanpa mengubah nilai. Caranya kalikan dengan 2 / 2 2/2 atau manipulasi menjadi 2 3 4 4 ​

2 3 ​

​

. Atau cara cepat: Tambahkan angka 2 di depan akar, tapi angka di dalam akarnya dibagi 4. Jadi bentuknya menjadi: 2 + 2 3 / 4 2+2 3/4 ​

​

. Cari angka yang dijumlah = 2, dikali = 3 / 4 3/4 . Angkanya adalah 3 / 2 3/2 dan 1 / 2 1/2 . Hasilnya 3 / 2 + 1 / 2 3/2 ​

+ 1/2 ​

.

Soal 6: Deret Pecahan Teleskopik

1 1 × 2 + 1 2 × 3 + ⋯ + 1 4 × 5 1×2 1 ​

+ 2×3 1 ​

+⋯+ 4×5 1 ​

. Rumus cepat untuk deret 1 𝑛 ( 𝑛 + 1 ) n(n+1) 1 ​

yang dimulai dari 1 adalah 𝑛 𝑛 + 1 n+1 n ​

. Ambil angka terakhirnya (4 dan 5). Maka hasilnya 4 / 5 = 0 , 8 4/5=0,8 .

Soal 7: Menebak Akar Kuadrat Besar

30.258 30.258 ​

. Gunakan patokan (range).

100 2 = 10.000 100 2 =10.000 . 200 2 = 40.000 200 2 =40.000 . Berarti jawabannya di antara 100-200. Lihat ekor angkanya. Ekornya 8. Cari di pilihan ganda yang jika dikuadratkan ekornya bisa jadi 8. Misal pilihan 123 2 123 2 ​

. Jika dikuadratkan: 123 2 123 2 ekornya 9. 2 2 2 ​

2 ekornya 2. 9 × 2 = 18 9×2=18 (ekor 8). Ini kandidat kuat.

Soal 10: Pengelompokan (Distributif) Soal dengan angka berulang seperti 0 , 77 × 1 , 23 − 0 , 77 × 0 , 23 … 0,77×1,23−0,77×0,23…

Keluarkan angka yang sama ( 0 , 77 0,77 ).

0 , 77 ( 1 , 23 − 0 , 23 ) + 1 , 23 ( … ) 0,77(1,23−0,23)+1,23(…) . Sederhanakan dalam kurung dulu. 1 , 23 − 0 , 23 = 1 1,23−0,23=1 . Jadi hitungannya jauh lebih mudah. Hasil akhirnya 2 / 3 2/3 .

Soal 11: Persamaan Akar Diketahui 𝑥 + 𝑦 = 11 x ​

+ y ​

=11 dan 𝑥 − 𝑦 = 3 x ​

− y ​

=3 . Ditanya 𝑥 − 𝑦 x−y . Ingat ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎 2 − 𝑏 2 (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 .

( 𝑥 + 𝑦 ) ( 𝑥 − 𝑦 ) = 𝑥 − 𝑦 ( x ​

+ y ​

)( x ​

− y ​

)=x−y . Jadi tinggal dikalikan: 11 × 3 = 33 11×3=33 .

Soal 12: Kuadrat Berakhiran 5 Trik cepat kuadrat berakhiran 5:

25 2 → 25 2 → 5 dikuadratkan jadi 25. Angka depannya (2) dikali angka setelahnya (3). 2 × 3 = 6 2×3=6 . Jadi 625. Kebalikannya untuk akar. 5625 5625 ​

. Belakangnya pasti 5. Depannya 56, cari perkalian angka berurutan yang hasilnya 56 ( 7 × 8 7×8 ). Ambil yang kecil (7). Jadi 75.

Pembahasan Post-Test

Sekarang kita masuk ke pembahasan soal post-test yang tingkat kesulitannya sedikit naik.

Nomor 1: Manipulasi Aljabar

𝑥

1234 × 1232 − 1233 2 x=1234×1232−1233 2 . Angka 1234 dan 1232 bisa diubah patokannya ke 1233.

1234

1233 + 1 1234=1233+1 .

1232

1233 − 1 1232=1233−1 . Jadi bentuknya ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 − 𝑏 ) − 𝑎 2 (a+b)(a−b)−a 2 .

( 1233 2 − 1 2 ) − 1233 2 = − 1 (1233 2 −1 2 )−1233 2 =−1 . Untuk 𝑦 y juga sama caranya, hasilnya 1. Jadi 𝑥 < 𝑦 x<y .

Nomor 2 & 3: Akar Bertingkat Kompleks Soal seperti 13 + 4 3 13+4 3 ​

​

harus dikerjakan dari dalam. Ubah 4 3 4 3 ​

menjadi 2 12 2 12 ​

(masukkan 2 ke dalam akar jadi 4, 4 × 3 = 12 4×3=12 ). Sekarang bentuknya 13 + 2 12 13+2 12 ​

​

. Cari faktor jumlah 13 kali 12 → → 12 dan 1. Hasilnya 12 + 1 = 12 + 1 12 ​

+ 1 ​

= 12 ​

+1 . Lanjutkan proses ini keluar akar satu per satu. Ingat, 1 1 ​

itu 1, jadi bisa langsung dijumlahkan dengan bilangan bulat lainnya. Terakhir, jika hasilnya pecahan akar seperti 3 / 2 + 1 / 2 3/2 ​

+ 1/2 ​

, rasionalkan penyebutnya dengan mengalikan 2 / 2 2 ​

/ 2 ​

.

Nomor 4: Eksponen dengan Basis Sama

5 5 − 5 4 5 5 −5 4 . Samakan pangkatnya ke yang terkecil.

5 5 5 5 itu 5 × 5 4 5×5 4 . Jadi 5 × 5 4 − 1 × 5 4 = 4 × 5 4 5×5 4 −1×5 4 =4×5 4 . Gunakan pemisalan misal 5 4 = 𝑥 5 4 =x agar lebih mudah melihatnya.

Nomor 6: Aljabar Variabel

𝐴 𝐶 − 𝐵 𝑀 − 𝐴 𝑀 + 𝐵 𝐶 AC−BM−AM+BC . Kelompokkan agar bentuknya sama dengan penyebut. Atur ulang menjadi − 𝐴 𝑀 − 𝐵 𝑀 + 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐶 −AM−BM+BC+AC (keluarkan minusnya) → − ( 𝐴 𝑀 + 𝐵 𝑀 − 𝐵 𝐶 − 𝐴 𝐶 ) →−(AM+BM−BC−AC) . Jika bentuk atas dan bawah sudah sama persis tapi beda tanda, hasilnya − 1 −1 .

Nomor 7: Persamaan Akar Tak Hingga

2 𝑥 + 2 𝑥 + … = 10 2x+ 2x+… ​

​

=10 . Ingat rumus: Hasil akar tak hingga ( 𝑎 a ) didapat dari faktor yang berurutan. Rumusnya 𝑎 = 𝑏 + 1 a=b+1 . Karena hasilnya 10, maka faktornya adalah 10 dan 9. Jadi angka di dalam akar ( 2 𝑥 2x ) haruslah 10 × 9 = 90 10×9=90 .

2 𝑥 = 90 → 𝑥 = 45 2x=90→x=45 .

Nomor 8: Jumlah Pangkat Tiga

76 3 + 63 3 76 3 +63 3 dibagi sesuatu. Ingat rumus 𝑎 3 + 𝑏 3 = ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 ) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 −ab+b 2 ) . Penyebutnya ternyata bentuk ( 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 ) (a 2 −ab+b 2 ) . Jadi bisa dicoret. Sisanya tinggal 𝑎 + 𝑏 = 76 + 63 = 139 a+b=76+63=139 . Hafalkan bentuk ini agar tidak perlu menghitung manual.

Nomor 9: Kuadrat Jumlah Diketahui 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 x 2 +y 2 =5 dan 𝑥 𝑦 = 2 xy=2 . Ditanya 𝑥 + 𝑦 x+y .

( 𝑥 + 𝑦 ) 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2 𝑥 𝑦 (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy .

( 𝑥 + 𝑦 ) 2 = 5 + 2 ( 2 ) = 9 (x+y) 2 =5+2(2)=9 .

𝑥 + 𝑦 = 9 = ± 3 x+y= 9 ​

=±3 . Kenapa bisa minus? Karena ini persamaan variabel, bukan hasil akar murni. Nilai 𝑥 x dan 𝑦 y bisa negatif yang jika dikuadratkan tetap positif.

Nomor 10: Habis Dibagi 12 Syarat habis dibagi 12 adalah harus habis dibagi 3 DAN habis dibagi 4. Cek opsi jawaban:

Cek apakah 2 digit terakhir habis dibagi 4? (Eliminasi yang ganjil atau tidak bagi 4).

Dari sisa opsi, cek jumlah digitnya apakah habis dibagi 3? Yang memenuhi kedua syarat itulah jawabannya.

Terima kasih teman-teman sudah bergabung malam ini. Memang materinya cukup padat dan soal post-test tadi terasa lebih sulit dari pretest, tapi itu wajar untuk latihan.

Saran saya, coba belajar per materi dulu. Karena masih ada waktu, dalami satu per satu. Kerjakan soal dengan timer untuk membiasakan diri dengan manajemen waktu. Kalau ketemu soal sulit yang memakan waktu lebih dari 1 menit (seperti akar bertingkat yang panjang), boleh di-skip dulu dan kerjakan yang mudah seperti soal persamaan kuadrat atau pola bilangan.

Tetap jaga semangat belajarnya, jangan buang-buang waktu. Kalau lagi malas, coba dipaksakan sedikit. Semoga sehat selalu!

Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.