Bedah Materi dan Pembahasan Soal: Perbandingan serta Jarak, Kecepatan, dan Waktu

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat pagi, Teman-teman.

Apa kabarnya hari ini? Semoga semua dalam keadaan sehat ya. Sepertinya ini pertama kali kita mengadakan pertemuan pagi. By the way, teman-teman sudah mengerjakan PR-nya atau belum? Sudah sempat mengerjakan, ya?

Sebelum kita mulai, saya ingin menyampaikan bahwa ada kekeliruan dalam pembuatan soal pretest kemarin. Ternyata untuk soal nomor 3, ada dua jawaban yang tepat, sehingga persentase benarnya terlihat kecil (43%). Namun, secara umum, untuk soal nomor 1 sampai 10, sebagian besar teman-teman sudah bisa mengerjakannya dengan benar. Jika dilihat sekilas, hasilnya sudah “kuning”, artinya basic-nya teman-teman sudah cukup familier.

Hanya saja, untuk soal nomor 10, perjalanannya memang agak panjang. Jadi wajar banget kalau beberapa dari teman-teman belum mendapatkan jawabannya karena memang memakan waktu (take time). Saran saya, jika menemukan soal tipe nomor 10 ini di Try Out (TO) atau tes nanti, sebaiknya dikerjakan belakangan saja karena memakan waktu cukup lama.

Sebelum kita bahas soal pretest-nya, ada baiknya kita kembali ke teorinya sebentar. Kita akan membahas materi tentang Perbandingan dan Jarak, Kecepatan, Waktu.

Pendalaman Materi: Perbandingan

Mari kita mengingat-ngingat kembali tentang perbandingan. Ada dua jenis perbandingan utama:

1. Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai terjadi apabila satu variabel bertambah, maka variabel yang berkaitan juga bertambah. Begitu juga sebaliknya, jika satu berkurang, yang lain ikut berkurang.

Contoh sederhananya adalah pulpen. Jika teman-teman beli satu pulpen harganya Rp1.000, maka kalau beli dua pulpen, harga yang harus dibayar pasti lebih mahal, yaitu Rp2.000. Variabel “banyak pulpen” bertambah, variabel “harga” juga bertambah.

Saya lebih suka mengingatnya dengan prinsip: Jika perbandingan senilai, maka hubungan antar variabel yang berkaitan itu dibagi.

Misalnya, jika banyak pulpen kita misalkan $M$ harganya $X$, lalu banyak pulpen $N$ harganya $Y$, maka hubungannya adalah: \(\frac{M}{X} = \frac{N}{Y}\)

2. Perbandingan Berbalik Nilai

Kebalikannya adalah perbandingan berbalik nilai (terbalik). Ini terjadi ketika satu variabel nilainya bertambah, variabel yang lain justru berkurang atau menurun.

Contohnya, jika teman-teman mengisi ember dengan keran yang dibuka setengah (arus air 10 liter/menit), butuh waktu 10 menit. Tapi jika keran dibuka full (arus air 20 liter/menit), ember terisi penuh lebih cepat, misalnya jadi 5 menit. Arus air bertambah, tapi waktu berkurang.

Untuk mengingatnya: Jika perbandingan terbalik, hubungan antar variabelnya dikali. \(A \times M = B \times N\)

3. Perbandingan Tiga Variabel (Subjek, Objek, Waktu)

Kadang kita bertemu soal dengan tiga variabel. Biasanya bentuknya Subjek, Objek, dan Waktu. Contoh mudahnya: “Sapi makan rumput dalam waktu 2 minggu”. Subjeknya sapi, objeknya rumput, waktunya 2 minggu.

Rumus cepatnya adalah STO: \(\frac{S_1 \times T_1}{O_1} = \frac{S_2 \times T_2}{O_2}\)

Atau jika yang ditanya Objek ($O$), rumusnya bisa dibalik agar lebih mudah menghitungnya: \(\frac{O_1}{S_1 \times T_1} = \frac{O_2}{S_2 \times T_2}\)

Logikanya begini:

• Subjek dan Objek (Senilai): Satu orang buat satu lemari. Dua orang buat dua lemari. Karena senilai, maka dibagi ($S/O$).
• Objek dan Waktu (Senilai): Satu lemari butuh 1 hari. Dua lemari butuh 2 hari. Makin banyak objek, makin banyak waktu. Karena senilai, dibagi ($O/T$).
• Subjek dan Waktu (Terbalik): Ingat prinsip gotong royong. Makin banyak orang yang bekerja, pekerjaan selesai lebih cepat. Karena terbalik, maka dikali ($S \times T$).

4. Perbandingan Umum

Untuk soal perbandingan umum, misalnya umur C dan S adalah 4:5 dan jumlah umur mereka 45. Daripada mencari satu-satu (misal $C = 4/5 S$ lalu disubstitusi), lebih enak pakai rumus: \(\text{Yang Ditanya} = \frac{\text{Perbandingan Ditanya}}{\text{Perbandingan Diketahui}} \times \text{Angka Diketahui}\)

Contoh: Ditanya umur S. Perbandingan S adalah 5. Yang diketahui jumlah umur (C+S), perbandingannya $4+5 = 9$. Angka diketahuinya 45. \(\text{Umur S} = \frac{5}{9} \times 45 = 25\) Jadi sekali jalan saja.

Pendalaman Materi: Jarak, Kecepatan, dan Waktu

Untuk materi ini, kita bisa mengingat segitiga rumus:

• $S$ (Jarak)
• $V$ (Kecepatan)
• $T$ (Waktu)

Rumus dasarnya:

• $S = V \times T$
• $V = S / T$
• $T = S / V$

Konsep Kecepatan Rata-rata

Kecepatan yang diketahui di soal itu sebenarnya adalah kecepatan rata-rata. Rumusnya adalah: \(V_{\text{rata-rata}} = \frac{\text{Total Jarak}}{\text{Total Waktu}}\)

Jika ada perjalanan Jakarta-Bandung lalu lanjut Bandung-Jogja, maka jaraknya dijumlahkan semua ($S_1 + S_2 + \dots$) dibagi total waktunya ($T_1 + T_2 + \dots$).

Kasus Khusus: Perjalanan Pulang Pergi (S1 = S2) Jika perjalanan dari A ke B lalu kembali lagi dari B ke A, asumsinya jarak pergi ($S_1$) sama dengan jarak pulang ($S_2$). Jangan langsung menjumlahkan kecepatan lalu dibagi dua (misal $(90+60)/2$), itu keliru.

Rumus cepat untuk kasus jarak sama (pulang-pergi) adalah: \(V = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2}\)

Berpapasan

Berpapasan terjadi saat dua orang berangkat dari titik berbeda (A dan B) dan saling menuju satu sama lain. \(S_{\text{total}} = S_A + S_B\)

Rumus Waktu Berpapasan ($T_{\text{berpapasan}}$): \(T_{\text{berpapasan}} = \frac{S_{\text{total}} - S_0}{V_1 + V_2}\)

• $S_0$ (Selisih Jarak): Jarak yang sudah ditempuh orang pertama sebelum orang kedua berangkat. Jika berangkat bersamaan, $S_0 = 0$.
• Jika waktu berangkat beda (misal A jam 08.00, B jam 09.30), cari dulu jarak yang ditempuh A selama selisih waktu tersebut ($\Delta T \times V_A$).
• Ingat, $T_{\text{berpapasan}}$ ini adalah waktu tempuh orang kedua (POV orang kedua).

Susul-Menyusul

Ini terjadi jika berangkat dari titik yang sama, arah yang sama, tapi yang satu lebih lambat dan berangkat duluan. Agar tersusul, orang kedua harus lebih cepat.

Rumus Waktu Menyusul ($T_{\text{menyusul}}$): \(T_{\text{menyusul}} = \frac{\text{Jarak Awal (Selisih Jarak)}}{\text{Selisih Kecepatan}} = \frac{V_1 \times \Delta T}{V_2 - V_1}\)

Logikanya: Seberapa jauh jarak yang harus disusul dibagi seberapa besar selisih kecepatan mereka.

Pembahasan Soal Pretest

Mari kita bahas soal-soal pretest yang sudah teman-teman kerjakan.

Soal 1: Proyek Jalan (Perbandingan Terbalik) Proyek selesai 30 hari oleh 15 orang. Setelah 6 hari, berhenti 4 hari. Logika: Bandingkan kondisi yang berbeda dari rencana. Setelah 6 hari, sisa rencana adalah 24 hari oleh 15 orang. Karena berhenti 4 hari, waktu tersisa tinggal 20 hari. Perbandingan terbalik (waktu berkurang, pekerja harus bertambah). \(24 \times 15 = 20 \times X\) \(X = \frac{24 \times 15}{20} = 18 \text{ orang}\) Yang ditanya tambahan pekerja: $18 - 15 = 3$ orang.

Soal 2: Potongan Tali Panjang bagian pertama ($A$) tiga kali bagian kedua ($B$). Jadi $A = 3B$. Jika bagian yang panjang ($A$) adalah 12 m, maka $12 = 3B$, sehingga $B = 4$. Panjang tali sebelum dipotong = $A + B = 12 + 4 = 16$ m.

Soal 3: Solar, Ketel, dan Waktu (3 Variabel) Pabrik perlu 30 liter solar untuk 4 ketel selama 6 minggu. Berapa liter untuk 16 ketel selama 2 minggu? Analisis hubungan variabel terhadap Solar (yang ditanya):

• Solar & Ketel: Makin banyak ketel, butuh makin banyak solar (Senilai).
• Solar & Waktu: Makin lama waktu, butuh makin banyak solar (Senilai). Karena senilai semua, hubungannya dibagi. \(\frac{30}{4 \times 6} = \frac{O_2}{16 \times 2}\) \(O_2 = \frac{30 \times 16 \times 2}{4 \times 6} = 40 \text{ liter}\)

Soal 4: Perbandingan Minuman (Al, PL, C) Diketahui $Al:PL = 5:7$ (tapi di pembahasan diubah menjadi $2:7$ atau disesuaikan agar sama). Intinya, jika ada dua perbandingan terpisah (misal $Al:PL$ dan $C:Al$), samakan dulu nilai variabel yang sama ($Al$). Cari KPK-nya. Setelah perbandingan setara ($Al:PL:C$ sudah satu baris), gunakan rumus: \(\frac{\text{Ditanya}}{\text{Diketahui}} \times \text{Angka}\)

Soal 5: Mesin dan Waktu (Terbalik) 15 mesin selesai 1 jam. Jika 3 rusak (sisa 12), berapa lama? \(15 \times 1 = 12 \times X\) \(X = \frac{15}{12} \text{ jam} = \frac{5}{4} \text{ jam}\) Ubah ke menit: $\frac{5}{4} \times 60 = 75$ menit.

Soal 6: Jarak Pesawat (Pythagoras) Pesawat 1 ke Timur (150 km/jam), Pesawat 2 ke Utara (200 km/jam). Waktu tempuh 2 jam (17.00 - 19.00). Jarak 1 ($S_1$) = $150 \times 2 = 300$ km. Jarak 2 ($S_2$) = $200 \times 2 = 400$ km. Jarak antar pesawat adalah sisi miring (Pythagoras dari 300 dan 400). Pasangan tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka jawabannya 500 km.

Soal 7: Kecepatan Rata-rata Pulang Pergi Pergi 60 km/jam, pulang 90 km/jam. \(V = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72 \text{ km/jam}\)

Soal 8: Berpapasan Berangkat pukul 10.30. Kecepatan 60 dan 80. Jarak 560 km. Berangkat bersamaan ($S_0 = 0$). \(T = \frac{560}{60 + 80} = \frac{560}{140} = 4 \text{ jam}\) Bertemu pukul $10.30 + 4 \text{ jam} = 14.30$.

Soal 9: Susul-Menyusul (Malik & Kamil) Kamil (1 km/jam) selesai jam 12.00. Malik (8 km/jam) selesai 12.35. Selisih waktu ($\Delta T$) = 35 menit. Jarak awal (jarak yang ditempuh Kamil duluan): $1 \times (35/60)$. \(T_{\text{menyusul}} = \frac{\text{Jarak Awal}}{V_2 - V_1} = \frac{1 \times (35/60)}{8 - 1}\) \(T = \frac{35/60}{7} = \frac{5}{60} \text{ jam}\) Jadikan menit: $\frac{5}{60} \times 60 = 5$ menit. Jadi Malik menyusul 5 menit setelah dia berangkat.

Soal 10: Persamaan Kuadrat (Kecepatan & Waktu) Jarak 600 km. Jika cuaca buruk, kecepatan kurang 200 km/jam, waktu tambah 30 menit (0,5 jam). $V_2 = V_1 - 200$. $T_2 = T_1 + 0,5$. Prinsipnya $S_1 = S_2 = 600$. Ini soal hitungan yang panjang karena akan membentuk persamaan kuadrat: \(200 T_1^2 + 100 T_1 - 300 = 0\) Disederhanakan dan difaktorkan, ketemu $T_1 = 1$ jam. Cara cepatnya? Coba-coba angka (logika). Jika $T=1$ jam, $V=600$. Jika $V$ kurangi 200 jadi 400, maka waktu jadi $600/400 = 1,5$ jam. Selisih waktunya pas 0,5 jam.

Pembahasan Soal Post Test

Oke, sekarang kita bahas hasil post test yang baru saja dikerjakan.

1. Perbandingan Bertingkat Alif:Baiduri = 2:3. Baiduri:Citra = 4:5. Samakan B (KPK dari 3 dan 4 adalah 12). Alif:Baiduri = 8:12. Baiduri:Citra = 12:15. Gabungan A:B:C = 8:12:15. Ditanya selisih A dan C, diketahui jumlah ketiganya Rp350.000. \(\text{Selisih} = \frac{15 - 8}{8 + 12 + 15} \times 350.000\) \(= \frac{7}{35} \times 350.000 = 70.000\)

2. Variabel Pekerjaan (X, Y, T) Pekerjaan selesai oleh $X$ orang dalam $Y$ hari. Agar selesai dalam $T$ hari, butuh berapa tambahan? Perbandingan terbalik: \(Y \cdot X = T \cdot A \rightarrow A = \frac{YX}{T}\) Tambahan = Total baru ($A$) - Awal ($X$). \(\text{Tambahan} = \frac{YX}{T} - X = \frac{YX - XT}{T} = \frac{X(Y - T)}{T}\) Hati-hati, jangan terjebak memilih jawaban total pekerja ($YX/T$), yang ditanya adalah tambahannya.

3. Subjek, Objek, Waktu (Variabel) $X$ orang, $Y$ produk, $Z$ menit. Jika 50 orang, berapa jam untuk 10.000 produk? Ingat rumus STO. Waktu $Z$ menit ubah ke jam ($Z/60$). \(\frac{X \cdot (Z/60)}{Y} = \frac{50 \cdot T_2}{10.000}\) Setelah kali silang dan penyederhanaan, didapat $T_2 = \frac{200XZ}{60Y}$.

4. Skala Denah Rumah Skala 1:200. Denah persegi panjang. Panjang di denah dihitung dari garis-garis (misal 9 + 2,5 = 11,5 cm). Lebar di denah (3 + 4 = 7 cm). Penting: Jangan hitung luas denah dulu baru dikali skala. Skala 1:200 itu satuan panjang. Ubah dulu panjang dan lebarnya ke ukuran sebenarnya. Panjang = $11,5 \times 200 = 2300$ cm = 23 m. Lebar = $7 \times 200 = 1400$ cm = 14 m. Luas sebenarnya = $23 \times 14 = 322$ m².

5. Campuran Bensin dan Oli 50 liter campuran, rasio Bensin:Oli = 3:2. Bensin = $3/5 \times 50 = 30$ liter. Oli = $2/5 \times 50 = 20$ liter. Ingin ditambah oli agar rasio jadi 2:3. Karena yang ditambah oli, maka jumlah bensin tetap (30 liter). Di campuran baru, bensin (30 liter) ini merepresentasikan bagian 2 (dari rasio 2:3). Maka total campuran baru = $\frac{30 \times 5}{2} = 75$ liter. Awalnya 50 liter, sekarang 75 liter. Berarti tambahan oli = $75 - 50 = 25$ liter.

6. Berpapasan (Sakuya & Rio) Sakuya berangkat 09.00 (40 km/jam). Rio berangkat 09.30 (50 km/jam). Jarak 140 km. Hitung $S_0$ (Jarak Sakuya selama 30 menit): $0,5 \text{ jam} \times 40 = 20$ km. \(T = \frac{140 - 20}{40 + 50} = \frac{120}{90} = \frac{4}{3} \text{ jam}\) 4/3 jam = 1 jam 20 menit. Waktu papasan = Jam berangkat Rio (09.30) + 1 jam 20 menit = 10.50.

7. Kereta vs Bus (Persentase Kecepatan) Kecepatan Kereta ($V_K$) 50% lebih cepat dari Bus ($V_B$). Jadi $V_K = 1,5 V_B = 3/2 V_B$. Kereta berhenti 12,5 menit, tapi sampai bersamaan. Artinya waktu tempuh kereta sebenarnya lebih cepat 12,5 menit. Soal ini perhitungannya agak panjang dengan substitusi variabel. Atau pakai logika perbandingan terbalik: Kecepatan 3:2, maka Waktu 2:3. Selisih rasio waktu (1 unit) setara 12,5 menit. Waktu Bus (rasio 3) = $3 \times 12,5 = 37,5$ menit. Jarak 75 km. $V_B = 75 / (37,5/60) = 120$ km/jam.

8. Pengisian Kolam (Pipa Bocor) Pipa A isi 4 jam ($1/4$), Pipa B isi 6 jam ($1/6$), Bocor habis 12 jam ($-1/12$). \(\frac{1}{T} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12}\) Disamakan penyebut (24): $6 + 4 - 2 = 8/24$. \(\frac{1}{T} = \frac{8}{24} \rightarrow T = \frac{24}{8} = 3 \text{ jam}\)

9. Kecepatan Rata-rata Jojo (Pulang Pergi) Sama seperti soal sebelumnya, pakai rumus $2V_1V_2 / (V_1+V_2)$. Pergi 60, Pulang 50. \(V = \frac{2 \cdot 60 \cdot 50}{110} = \frac{6000}{110} = 54,54 \text{ km/jam}\)

10. Polisi Mengejar Pencuri Jarak awal 30 m. Pencuri lari dulu 2 detik (kecepatan 5 m/s) sebelum polisi mengejar. Jarak tambahan pencuri = $2 \times 5 = 10$ m. Total jarak pisah saat polisi mulai lari = $30 + 10 = 40$ m. Kecepatan polisi 7 m/s, pencuri 5 m/s. \(T_{\text{susul}} = \frac{40}{7 - 5} = \frac{40}{2} = 20 \text{ detik}\)

Tambahan: Rumus Kecepatan Rata-rata Gabungan (Weighted Average)

Ada pertanyaan mengenai rumus kecepatan rata-rata jika jarak tempuhnya beda (tidak S1=S2). Contoh soal: “75% perjalanan ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam. Kecepatan rata-rata seluruhnya 40 km/jam. Berapa kecepatan untuk sisa 25% perjalanan?”

Gunakan rumus dasar: \(V_{\text{rata-rata}} = \frac{S_{\text{total}}}{T_{\text{total}}} = \frac{S_1 + S_2}{T_1 + T_2}\) Atau dalam bentuk variabel waktu ($S = V \times T$): \(40 = \frac{50 \cdot (75\% T) + V_2 \cdot (25\% T)}{T}\) Variabel $T$ bisa dicoret. \(40 = 50(0,75) + V_2(0,25)\) \(40 = 37,5 + 0,25 V_2\) \(2,5 = 0,25 V_2\) \(V_2 = 10 \text{ km/jam}\)

Sekian pembahasan kita hari ini. Terima kasih banyak teman-teman yang sudah join. Mohon maaf atas kendala teknis hari Sabtu lalu dan jika ada kekurangan dalam penyampaian. Selamat melanjutkan long weekend dan selamat berlibur!

Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.